Inga mérése (laborjegyzet)

Bevezetõ

A mérés során az inga idõben csillapodó harmonikus rezgõmozgását vizsgáljuk a számítógép segítségével úgy, hogy az idõ függvényében megmérjük a pillanatnyi kitérést megadó f(t) szöget. A mérés elméleti alapjai megtalálhatók Budó Á.: Kísérleti fizika I. könyv 24. és 88.§-ában (86. és 294. o.).

A f(t) kitérést a következõ elméleti görbével közelítjük:

f(t)= f_max e^-bt sin(2pt/T+a₀) + f₀ (1)

ahol f_max a maximális kitérés, b a csillapítási tényezõ, T a periódusidõ, a₀ a kezdõfázis és f₀ a nyugalmi helyzethez tartozó szög. Az elméleti megfontolások alapján a T periódusidõ függ a f_max a maximális kitéréstõl (azaz a mozgás nem tökéletesen harmonikus rezgõmozgás). A mozgás differenciálegyenlete elliptikus integrálhoz vezet, amelyet f_max szerint sorbafejtve közelíthetünk. Viszonylag kis kitérésekre a sorfejtés alapján

T=T₀(1+f_max²/16+o(4)) (2)

adódik, ahol T₀ a harmonikus rezgés periódusideje (f_max-t itt radiánban mérjük, és elhanyagoljuk a f_max-ban negyed és annál magasabb rendű tagokat). A mérés során megpróbáljuk ellenõrizni a fenti összefüggés helyességét, és ezáltal az elméleti jóslatot.

A f(t) szög mérésére egy, közvetlenül az inga tengelyére erõsített potenciométert használunk. A PC a joystick csatlakozóján keresztül olvassa be a potenciométer állását. A joystick port vázlatát a következõ ábra mutatja:

A joystick potenciométerek beolvasása a 4 db 555-ös idõzítõt tartalmazó 558 monostabil IC-n keresztül történik, és a PC belsõ idõzítõjén alapul (az 555-ös leírása Csákány A.:Elektronika c. jegyzetének 5.11. fejezetében (88.oldal) található).

A mérési ciklus kezdetekor a PC a portra való írással kisüti a 10 nF-os kondenzátorokat. Ezután méri azt az idõt, amíg az egyes csatornákhoz tartozó monostabil multivibrátorok átbillennek. Ez addig tart, amíg a joystick potenciométeren keresztül az adott kondenzátor fel nem töltõdik a +5V tápfeszültség kétharmadára (u.i. ez az 555-ös belsö triggerszintje).

Az inga egy 220 kW-os potenciométer tengelyére van erõsítve, ami az AX joystick csatornához csatlakozik. A potenciométer ellenállása nagyjából lineárisan változik az elfordulási szöggel, így ennek eredményeként a billenési idõ - szög összefüggés közelítõleg lineáris lesz.

Windows környezetben dolgozva a port billenési idejének meghatározására az inga programot (ikonja a desktop-on található) használjuk a mérés során. A programban a megszokott windowsos módon állíthatjuk be a mintavétel gyakoriságát és a mérés teljes idejét. A mérés végeredménye mindig megjelenik a képernyõn, kimenteni tetszõleges állományba tudjuk. A program a PC idõzítését Windows alatt használja, tehát a mérés alatt tartózkodjuk az egér használatától, az ablakok áthelyezésétõl, stb. Ezek a műveletek ui. elrontják a program az idõzítését, amit a “rossz” mérési pontok kiugrásaként is láthatunk.

A gnuplot program használatáról

A gnuplot egy általánosan használható, adatsorok ábrázolására, illesztésére, illetve egyéb kiértékelésére szolgáló program, ikonja megtalálható a desktopon. Az ábrázolandó adatsor mindig egy szöveges fájlban kell legyen (Windows rendszer alatt érdemes pl. a notepad (jegyzettömb) nevû egyszerû szövegszerkesztõt használni az adatok kézi bevitelére, illetve az inga program is megfelelõ adatsort produkál).

Az ábrázolás a plot paranccsal történik. Az ábrázolandó adatsort idézõjelek közé kell tenni. Ezután meg kell adni hogy az adatsor melyik oszlopának függvényében melyik oszlopot ábrázoljuk, amit a using kulcsszó utáni, kettõsponttal elválasztott számpár fejez ki. Ha több adatsort, vagy függvényeket is szeretnénk ábrázolni, az ábrázolandó dolgokat vesszõvel választjuk el. Az a.dat adatsor második oszlopának függvényében ábrázolva a negyedik oszlopot, és emellett ábrázolval a sin(x) függvényt, az ábrázoló parancs tehát így alakul:

plot “a.dat” using 2:4, sin(x)

Változókat és függvényeket az értékük megadásával definiálunk, tehát az A=5.2 parancs definiálja az A változót (kis és nagybetû különbözõ!) és egyben az 5.2 értéket adja neki (a tizedesvesszõ helyét ponttal kell jelölni az angolszász konvenciónak megfelelõen, az adatfájlban is!) Az f(x)=A*x*x+C definiálja az f(x) függvényt.

Paraméterekkel definiált függvényeket illeszthetünk egy adatsorra a fit paranccsal, ez esetben meg kell adni az illesztendõ függvényt, az adatsor nevét, az illesztendõ oszlopok számát (using kulcsszó) és hogy milyen paramétereket akarunk illeszteni (via kulcsszó). A függvény többi változója változatlan marad. Például:

fit f(x) “a.dat” using 2:4 via A,C

Természetesen csak már definiált függvény illeszthetõ, de megadható a függvény aritmetikailag a fit parancs után is:

fit h*x+g “b.dat” using 1:2 via h,g

A parancs helyes lefutása után megkapjuk az illesztett paraméterek értékét, illetve ezek hibáját.

Mérési feladatok

1. Kalibrálás

A kalibrálás a fizikai mérésekben használt berendezések, detektorok hitelesítését, a mérési eredmény és a “valóság” közötti kapcsolat megkeresését jelenti. A lépéshosszal lemért szabványos focikapu kijelölésénél a kalibrálás az egyéni lépéshossz meghatározásának felel meg. A kalibrálásba beleértjük a mérõeszköz pontosságának, esetleges szisztematikus hibáinak megbecslését is. Adott esetben a kérdés a számítógép által regisztrált belsõ billenési idõ és az inga szögkitérése közti kapcsolat.

Kalibrálási feladat: 7-8, a szögtartományt jól lefedõ álló pozícióban mérje meg a program által mért billenési idõt (itt elegendõ csak kevés pl. 5 másodpercig tartó adatsor mérése egy-egy pozícióban, pl. 10msec gyakorisággal, hiszen az inga nem mozog, tehát várhatóan nagyjából ugyanazt az értéket regisztrálja sokszor egymásután a számítógép). Becsülje meg a konverzió hibáját (azaz az egyes pontok szórását!) Az inga szögelfordulásának méréséhez segítséget ad az állványra rögzített mérõszalag.

A fentiek alapján a konstans meghatározása legegyszerûbben egy illesztési lépéssel történik a gnuplot programban, ami így alakul:

fit C ''calib1.txt'' using 1:2 via C

A meghatározott billenési idõket (C paraméter) pl. a notepad programmal (indítása: Start menü -> Futtatás -> notepad) írhatja át egy szöveges fájlba, megadva az elsõ oszlopban a valódi szögkitérést, másodikban pedig a konverziós idõt.

Illesszen lineáris függvényt (a*x+b) a billenési idõ-szögelfordulás függvényre! Készítsen errõl ábrát is, és sorszámozva csatolja a jegyzõkönyvhöz! Adja meg az illesztés paramétereit és határozza meg, hogy mekkora a konverziós tényezõ (azaz hány usec billenési idõ tartozik az 1 radián szögelforduláshoz)!

2. Normál lengés

Mérje meg az inga mozgását egy alkalmas mintavételi gyakoriság esetén (pl. 10 msec), célszerűen pl. 10 másodperces idõtartamra! Illessze az (1) összefüggés paramétereit a mérési adatokhoz! Készítsen ábrát is és csatolja a jegyzõkönyvhöz! Adja meg az egyes illesztés paramétereit!

A függvény definiálása és az illesztés a fentiek alapján így történhet:

f(x)=Fm*sin(x/T*3.1416-A)*exp(-B*x)+F0

fit f(x) ''meres1.txt'' via F0,Fm,A,B,T

Itt nyilvánvalóan T a periódusidõ, Fm a maximális kitérés (f_max), A a kezdõfázis, B a csillapítási paraméter, F0 pedig a nyugalmi kitérés mért értéke. Fontos tudnivaló, hogy a program akkor találja meg könnyen a helyes illesztést, ha a függvény kezdeti paraméterei nagyjából helyesek, ami onnan látszik, hogy az illesztendõ függvény nagyjából követi a mérési pontokat. Ezért elsõ lépésként adjon értékeket a változóknak, majd ábrázolja a mérési adatokat és a függvényt együtt:

plot ''meres1.txt'', f(x)

és miután meggyõzõdött arról hogy az illesztendõ függvény közel helyes, indítsa az illesztést! A T paraméter különösen fontos, az illesztendõ függvény és a mérési adatok periódusideje ne legyen láthatóan különbözõ. Az illesztés lefutása után ismét ábrázolja együtt a függvényt és a mérési pontokat, amelyeknek ekkor már szinte tökéletesen egybe kell esniük. (Megjegyzés: a felfele nyíl gomb visszahozza a már begépelt parancsokat a gnuplot programon belül).

3. A lengésidõ amplitúdófüggése

A (2) összefüggés igazolásához mérje meg az inga mozgását pl. 10 msec-os mintavételi gyakoriság esetén körülbelül 10 másodpercen át, legalább 6-7 jelentõsen különbözõ f_max értéknél! Mivel egy kis, az amplitúdó négyzetével arányos effektust szeretnénk látni, érdemes a legnagyobb amplitúdót legalább 0.7 - 0.9 radián nagyságúra választani. Illessze és adja meg az (1) összefüggés paramétereit az egyes mérésekben! A feladatot úgy érdemes végrehajtani, hogy elõbb minden mozgási szakaszt lemérünk, majd ezeket egymás után illesztjük. A gnuplot programból való kilépéskor ugyanis a már betáplált függvény-definíciók elvesznek, melyek újradefiniálása idõveszteséggel jár.

A mérés során szisztematikus hibát jelenthet ha “különbözõképpen” indítjuk az ingát. Emiatt a mérést úgy végezze, hogy minden mérõsorozat nagyjából ugyanolyan fázisból induljon (például induljon fél fázissal a tényleges indítás után), illetve ugyanannyi ideig tartson (például 10 másodperc – ennél rövidebb idõ pontatlanabb mérést okoz, sokkal hosszabb idõ alatt pedig az inga jelentõsen csillapodik)!

Ábrázolja az adatokat, azaz a f_max függvényében a b és a T értékeket! (ezeket a notepad programmal létrehozott fájlba másolhatja a gnuplot képernyõjérõl). Illesszen T0*(1+x*x*H) alakú, tehát szimmetrikus parabolát (miért?) a T - f_max pontokra! Készítsen ezekrõl ábrát is, és sorszámozva csatolja a jegyzõkönyvhöz! Adja meg az T - f_max illesztés paramétereit! Hasonlítsa össze ennek eredményét a (2) összefüggéssel! Mennyire teljesül az elméleti várakozás?