Transzfer karakterisztikák

Ebben a fejezetben egyszerû, de igen gyakori, lineáris elemekbôl felépített elektromos hálózatok transzfer (átviteli) karakterisztikáival foglalkozunk. Gondolat-menetünk, eredményeink a továbbiak szempontjából nagyon fontosak.

Transzfer karakterisztikán azokat a függvényeket értjük, amelyek állandó amplitúdójú, különbözô frekvenciájú szinuszos bemeneti jelek hatására a hálózat kimeneti kapcsain megjelenô (ugyancsak szinuszos) jelek amplitúdó és fázis viszonyairól tudósítanak. Ezeket a függvényeket általában a frekvencia függvényében állítjuk elô, illetve tanulmányozzuk. Meggondolásaink - értelemszerûen - csak lineáris, vagy annak tekinthetô elemeket tartalmazó hálózatokra vonatkoznak.

Decibel skála

A távközlési technika kialakulásának kezdetén - a század elsô harmadában - ráébredtek arra, hogy az átviteli lánc a T.1 ábra szerinti csillapító és erôsítô elemek lánckapcsolásából áll. Ezeket az elemeket azzal lehet jellemezni, ha megadjuk, hogy a bemeneti feszültség hányadrésze jelenik meg a kimeneten (ezeket a számokat láthatjuk az egyes blokkok felsô részében). Egy csillapító elem pl. a bemenetnek csak töredékét juttatja a kimenetre, egy erôsítô pedig a bemeneti feszültségnek a sokszorosát. - A T.1. ábra szerinti lánc bemenôjele 1 mV nagyságú. Feltüntettük azt is, hogy az egyes blokkok kimenetén mekkora jelamplitúdót tapasztalunk.

(Egy mai telefon összeköttetés mikrofon-erôsítôvel kezdôdik, a jelek a huzalokon csillapodva érkeznek a központba. Itt felerôsítik ôket, majd - mondjuk mikrohullámokon - továbbítják. Természetesen a vételi oldalon ismét erôsítésre van szükség, stb.)

A fent említett számítás azonban "nehéz": szorozni, esetleg osztani is kell. Azért tértek át a logaritmusra, mert az összeadást sokkal több ember képes hibátlanul elvégezni. - Logaritmusa persze csak egy pozitív számnak van, ezért két feszültség arányának a logaritmusát vették, célszerûen a kimenôfeszültségnek és a bemenôfeszültségnek

a hányadosát:

Természetesen a mért feszültségnek egy referencia feszültséghez képesti viszonya is kifejezhetô :

A logaritmus alapjául a 10-et választották, hiszen ehhez álltak rendelkezésre táblázatok. Az így keletkezô számok azonban túlságosan "kicsik" voltak, ezért ezt még megszorozták 20-szal. (Tulajdonképpen csak tízzel, - a kettes a feszültség négyzeteknek, vagyis a teljesítményeknek az arányára utal.)

Az átvitel logaritmikus értékét Bell (telefon !) emlékére nevezték el, a tízzel történô szorzás hozta magával a "deci" toldalékot, - és kialakult a decibel érték/skála, Rövidítése dB, - nem tévesztendô össze a "darab" rövidítésével! Használata elterjedt, mind a méréstechnikában, mind pedig a hétköznapi életben sokszor alkalmazzák. (Hi-fi berendezések-, videoszalagok adatai, utcai zaj, szomszéd kutyájának hangerôssége, stb.)

Meg kell tanulnunk decibelekben számolni olyannyira, hogy a késôbbiekben már ne kelljen az átszámításokon gondolkodnunk. Nem kell megijedni a kisebb pontatlanságoktól, közelítésektôl !

Ha a két feszültség hányadosa 10, akkor annak tízes alapú logaritmusa 1, hússzorosa pedig 20 dB. Az 1/10 érték - 20 dB-ként adható meg.

Kettô tízes alapú logaritmusa 0.3010, ez 6 dB lesz. Azonnal láthatjuk, hogy -bôl 3 dB lesz, az pedig -3 dB.

Ha az = 0.7 értékhez tartozó -3 dB számot ismerjük, könnyen átláthatjuk, hogy -1 dB @

0.9, -2 dB pedig @ 0.8. , mivel a logaritmus függvény (is) kis szakaszon lineárisnak tekinthetô.

A értéke nagyjából három, vagyis 10 dB.

5 = 10/2 vagyis 20 - 6 = 14 dB.

számarány	dB érték
0.9	-1
		3
		10
2	6
3	9.5
5	14
10	20

A decibelre való átszámításokat, vagy a decibel értékek szám-arányokká alakítását a fentiek alapján némi gyakorlás után könnyûszerrel végezhetjük. Az arányokat 0.9, 1.4, 1.7, 2, 3, 10, 100 stb. szorzó-tényezôkre bontjuk és a hozzájuk tartozó dB értékeket összegezzük. A dB értékek az 1, 3, 6, 10, 20 stb. összeg-tényezôkbôl állnak elô. Az ezekhez tartozó számértékeket össze kell szoroznunk.

Összefoglalásként a mellékelt táblázatra hívjuk fel a figyelmet.

Térjünk vissza egy pillanatra a T.1. ábrához. Vegyük észre, hogy mennyivel egyszerûbb, gyorsabb a lánc eredô átvitelének kiszámítása a megfelelô dB értékek felhasználásával !

Lineáris és logaritmikus skálák.

Az egyváltozós függvények ábrázolásának klasszikus módszere a derékszögû koordinátarendszerben való megjelenítésük, - általában lineáris abszcissza és ordináta skálával.

Az elektrotechnikában, elektronikában azonban az alkatelemek gyakorlatban használt értéktartományai igen szélesek, általában sok nagyságrendre kiterjednek. Ennek megfelelôen a vizsgálni kívánt átviteli karakterisztikák frekvenciatartománya is sok nagyságrendet fog át. - Példaképpen nézzük meg, hogy egy igen gyakran használt összefüggés képe hogyan változik, ha a független változó x helyett 10x - et, illetve x/10 -t írunk. (Gondoljunk arra, hogy x lényegében az

Az ábrázolt függvény:

A T.2.a ábrán látható görbék semmiképpen nem keltik azt a benyomást, hogy itt ugyanarról a függvényrôl van szó (ami mögött még azonos fizikai háttér is húzódik meg).

Az átviteli görbéktôl elvárjuk, hogy az azonos folyamatokat az abszcissza léptékétôl függetlenül határozottan fel tudjuk ismerni. De másra is szükség van: szeretnénk egyértelmûen leolvasni a görbékrôl, hogy milyen x értéknél csökken értékük a maximum 0.7-ed részére, illetve 1/100 részére. A T.2.a szerinti ábrázolás a 0.7-edhez tartozó értéknél még megfelelô, de az 1/100-ad leolvasása lehetetlen.

Ilyen esetekben érdemes az ún. logaritmikus ábrázoláshoz folyamodni és az abszcisszát "összezsúfolni". Ezt legegyszerûbben úgy tehetjük meg, ha x helyébe ax -t írunk. (Ha a = 10 -et választunk, akkor T.2.a ábra 0,1,2,3 abszcissza értékei most 1, 10, 100, 1000 értéknek fognak megfelelni.) Eredményül a T.2.b. ábrához jutunk, amelyiken már határozottan felismerhetô, hogy azonos, csak az abszcissza irányában eltolt függvényekrôl van szó. Errôl az ábráról sem tudjuk azonban leolvasni az 1/100-ad részhez tartozó x értékeket.

Szerencsésen változik a helyzet, ha y helyett ennek logaritmusát vizsgáljuk. Ha a fent megadott függvény helyett az

összefüggést ábrázoljuk, akkor a T.3. ábrához jutunk. Ez az ábrázolásmód már eleget tesz az elôbb megfogalmazott óhajainknak. Természetesen y logaritmálását a már megismert decibel skála szerint választottuk.

Ezt a fajta ábrázolásmódot Bode diagramnak nevezik. Az amplitúdóátviteli karakterisztika mindkét tengelye logaritmikus, a fáziskarakterisztikáknál a fázist lineárisan ábrázolják, mivel egy szög logaritmusának nincsen megszokott jelentése. (Bode a század közepén tevékenykedô fizikus, - számos fontos elméleti megállapítás fûzôdik nevéhez.)

Egyszerû RC áramkörök frekvenciakarakterisztikái

Ha egy ellenállást meg egy kondenzátort sorba kapcsolunk és egy váltakozó feszültségû generátort kapcsolunk hozzá bemenetként (T.4. ábra), akkor a két elemen nyilván ugyanaz az áram folyik át. (A feszültségforrás szinuszos jelének amplitúdója U0 .) Az ellenálláson és kondenzátoron létrejövô feszültségek összege pedig kiadja a bemeneti feszültséget. Nem szabad azonban megfeledkezni arról, hogy ez a két feszültség egymásra "merôleges". - A T.5. ábráról jól látszik, hogy két különbözô (w 1 valamit w 2 ) frekvencia esetén az ellenálláson, illetve kondenzátoron keletkezô feszültségek változnak, de a közöttük fennálló 90 fokos eltérés nem. Igy érthetôvé válik az a fontos, erre az áramkörre érvényes megállapítás, hogy a frekvencia zérustól végtelenig történô változása esetén az A-val, illetve A* -gal jelölt, tetszôleges frekvenciához tartozó pont egy félkör (Thales kör) mentén mozog.

A következôkben az áramkör két elemén a frekvencia függvényében kialakuló feszültség értékét keressük. Ezt elôször elemi módszerrel tesszük meg. Ez a módszer ehhez a feladathoz elegendô, bonyolultabb esetek így nem vizsgálhatók.

Ha az áramot formájúnak tételezzük fel, akkor ( a T.4. ábra szerint ) a bemeneti feszültség

Ha ebben a kifejezésben az integrálást elvégezzük, akkor az alábbi egyenlôséghez jutunk:

(ez - mellesleg - azt tartalmazza, hogy a kondenzátoron kialakuló feszültséghullám késik az ellenálláson létrejövôhöz képest!)

Ha a két befogóból meghatározzuk a derékszögû háromszög átfogóját, akkor az ellenálláson és a kondenzátoron fellépô feszültségek eredôjét kapjuk, - ami természetesen azonos a bemeneti feszültséggel:

Másként fogalmazva: ha a bemeneti feszültség csúcsértéke U0 , akkor az áram csúcsértéke

lesz. - Mivel az ellenálláson kialakuló feszültség az árammal arányos, az ellenálláson keletkezô feszültség az alkatelemek és a frekvencia függvényében:

Hasonló meggondolással kapható meg a kondenzátoron kialakuló feszültség is:

A T.6. ábra két, nagyon gyakran használt kétpóluspár ábráját mutatja. Ha a kimenetet az ellenállásról vesszük, akkor a T.9. egyenlet szerint olyan kapcsoláshoz jutunk, amelyik az egészen alacsony frekvenciákat gyakorlatilag nem juttatja a kimenetre. Ha a frekvencia egy - késôbb definiálandó értéket meghalad - akkor viszont a bemeneti feszültség a kimeneten szinte teljesen megjelenik. Ez az áramkör tehát frekvenciaszelektív tulajdonságú, - joggal hívjuk felüláteresztô szûrônek.

Hasonló meggondolások érvényesek arra az áramkörre, ahol a kimenetet a kondenzátorról kapjuk. Itt a kisfrekvenciák jelennek meg a kimeneten, - a magasabb frekvenciák pedig nem. Ez az áramkör a legegyszerûbb aluláteresztô szûrô.

A fenti frekvenciafüggvényeket természetesen az impedancia fogalommal (vagyis a komplex számokkal formálisan operálva) is megkaphattuk volna. Ugyanis a kondenzátoron megjelenô feszültségre az alábbiakat írhatjuk:

ha az egyszerû aluláteresztô hálózat átvitelét kiszámítjuk, akkor

vagyis a már megtalált összefüggéshez jutunk. - Hasonlóképpen elôállíthatjuk a felül-áteresztô szûrô frekvenciaátviteli karakterisztikáját is.

A T.7. ábrán e két igen egyszerû áramkör átvitelének Bode diagramjai láthatók. Érdemes felfigyelni arra, hogy ezek lényegében vízszintes és ferde egyenesekbôl állnak. Ha ugyanis a T.12. egyenlet esetén , akkor a Bode diagramon

vagyis ha w logaritmikus, akkor negatív meredekségû egyenest kapunk.

Ennek az egyenesnek a meredeksége könnyen számolható. Ha a frekvencia tízszeresére változik, az átvitel 20 dB-el csökken. Ezt úgy mondják, hogy a meredekség 20 dB/dekád. Természetesen kétszeres frekvenciaváltozáshoz is meg tudjuk mondani a csökkenés mértékét, - ez 6 dB/oktáv lesz (az oktáv szónak tényleg köze van a "zenéhez").

A T.7. ábrán a fázisváltozás is nyomon követhetô. Jól látszik, hogy mindkét áramkör maximálisan 90 fok fázisváltozást hoz létre. Az aluláteresztô kapcsolásnál alacsony frekvencián nincs fázistolás, a felüláteresztônél pedig igen magas frekvenciákon lesz a kimeneti jel fázisa a bemenetivel megegyezô. - Az áramkörök viselkedésének szimulálásakor R = 10 kohm és C = 10 nF értékekkel számoltunk.

Határfrekvenciák, sávhatárok

Azt a kérdést akarjuk eldönteni, hogy egyszerû alul-, illetve felüláteresztô szûrôink esetén mit tekinthetünk felsô, vagy alsó frekvenciahatárnak. A T.9. és a T.10 (valamint a T.11. és T.12.) egyenletek az sugallják, hogy a kérdést legegyszerûbb úgy megoldani, ha a frekvenciafüggô rész - (w RC) - értéke egységnyi érttékûre választjuk: ugyanis a képletek jellege miatt így a számítások leegyszerûsödnek. Határfrekvenciának tehát azt az w f (kör)frekvenciát tekintjük, ahol az átvitel

lesz, vagyis maximális értékének 0.7 -ére csökken. Ebbôl adódóan tehát az aluláteresztô kapcsolás felsô határfrekvenciája:

Hasonló meggondolásból a felüláteresztô kapcsolás alsó határfrekvenciája:

(A két érték egybeesése aligha meglepô: az ellenálláson és a kondenzátoron létrejövô feszültség csak akkor lesz egyforma, ha a T.5. ábrán az áram és a bemeneti feszültség közötti szög éppen 45 fok! - Ilyenkor mindkét elemen létrejövô feszültség a bemenet 0.7-szerese. L. Pithagoras tétele.)

A továbbiakban tehát az -t (bár furcsán hangzik, de igaz: mint képleteink szempontjából jól kezelhetô "kerek" értéket) tekintjük az alsó illetve felsô határfrekvencia definíciója kulcsszámának. - Az eljárás egyszerû: Meghatározzuk az amplitúdóátviteli görbe maximumát, illetve állandónak tekinthetô maximális értékét, majd ennek 3 dB-vel csökkentett értékéhez tartozó frekvenciákat leolvassuk. Hasonlóan járunk el egy sávszûrô sávszélességének keresésekor is. (L. Rezgôkör, R. 7. egyenlet)

Természetesen lehet olyan frekvenciaátviteli karakterisztikát is rajzolni, ahol a fent leírt eljárás értelmetlen eredményhez vezet (pl. ha a görbének több lokális maximuma is van). Ezeket az eseteket elkerüljük.

Még egy nagyon fontos megállapítást kell tennünk. Már láttuk, hogy a valóságos elektromos rendszereknek mindig van valamekkora véges belsô ellenállása. (Ha nem lenne, akkor végtelen nagy energiát lehetne belôle kivenni... ) - A rendszer kimenete csakis véges hosszúságú vezetékdarabokon keresztül érhetô el. Ennek mindenképpen van egymáshoz képesti kapacitása. Igy a valóságos elektromos rendszer mindig aluláteresztô szûrô kapcsolásként jelenik meg, aminek óhatatlanul van felsô határfrekvenciája !

Kompenzált RC osztó áramkör

Gyakran elôfordul, hogy egy jel túlságosan nagy egy mérômûszer bemeneti igényéhez képest. Ilyenkor nyilván csökkenteni kell nagyságát. Erre a célra triviális megoldásként szolgálhatna az ellenállás osztó.

A mérômûszerek bemeneti kapacitása azonban nem zérus (ahogy más rendszereké sem). Ennek következtében a T.8.a. ábra szerinti áramkör jön létre. Ez az áramkör a Thevenin tétel alapján (T.8.b.) aluláteresztô szûrôvé módosítható, amelyikrôl tudjuk, hogy a nagyfrekvenciákat nem viszi át.

A megoldást az jelenti, hogy a "kutyaharapást szôrével", - nagy természeti elvnek megfelelôen újabb kondenzátort helyezünk az osztóba. Ezt a kapcsolást a T.8.c. ábra mutatja.

Ennek a kapcsolásnak a frekvenciaátvitele:

Némi egyszerûsítés után:

ebbôl jól látszik, hogy esetén az átvitel frekvencia-függetlenné válik. Ezt a kapcsolást hívják kompenzált osztónak.

A matematikai formuláktól függetlenül észre kell vennünk, hogy a T.8.c. ábra szerinti elrendezésnek az alacsonyfrekvenciás átvitelét az ellenállások aránya szabja meg. A magasfrekvenciás átvitelt azonban a kondenzátorok uralják. (Nagyobb kondenzátor - kisebb látszólagos impedancia !) - Ennek alapján az ún. kompenzálatlan osztó frekvenciakarakterisztikájának jellegére fontos becsléseket tehetünk.

A T.9. ábra egy alul-, felül-, és egy pontosan kompenzált osztó Bode diagramját ábrázolja (C1 = C2 = 100 pF, R1 = 100 kohm, R2 értéke pedig 50, 100, illetve 150 kohm). - Figyeljünk arra, hogy a fázistolás értéke a kissé szokatlan "milli-fok"-ban van megadva! - Érdekes, hogy a ki-. és bemeneti fázis különbsége csak abban a tartományban tér el zérustól, ahol az amplitúdóátvitel változik.

(Az Elektronika jegyzet elején található egy rövid leírás arról, hogyan lehet viszonylag könnyen felrajzolni bizonyos fajta összetett rendszerek Bode diagramját.)

Feladatok:

1 Melyik az az arányszám, amelyiknek dB értéke saját magával egyezik meg?

2. Mi a válasz arra tréfás kérdésre, hogy a - 273 dB az abszolút nullaszint -e?

3. Egy piezoelektromos kristályból álló kapacitív belsô ellenállású jeladó (pl. lemezjátszóknál szokásos kristály "pick-up") csatlakozik egy véges bemeneti ellenállású erôsítôhöz. A kristály nyomás hatására felületén töltéseket választ szét, tehát lényegében áramgenerátorként mûködik. - A T.10. ábra alapján határozza meg a rendszer alsó frekvenciahatárát.

4. Becsülje meg a T.11. ábrán látható egyszerû, szávszûrô jellegû áramkör alsó-, illetve felsô frekvenciahatárát. Rajzolja fel a Bode diagramokat.

5. A Thevenin tétel felhasználásával állapítsa meg a T.12. a,b ábrán látható áramkörök frekvenciahatárait. (C = 1 nF, C1 = 2 nF, R1 = 5 kohm, R2 = 10 kohm, R = 10 kohm

6. Állítsa elô és vizsgálja a T.12. c,d ábrán látható, induktivitást tartalmazó áramkörök amplitúdó- és fázisátviteli karakterisztikáit. ( R = 10 kohm, L = 100 mH )

7. A T.13. a,b,c,d ábrán olyan kétpóluspárokat látunk, amelyek két kondenzátort, illetve ellenállást tartalmaznak. Rajzolja fel az áramkörök Bode diagramjait. (R = R1 = 10 kohm, C1 = 10 nF, C = 50 nF )

8. Egy oszcilloszkóp bemenetéhez 1:10 leosztási arányú kompenzált osztó csatlakozik, melynek ohmos része összesen 1 Mohm ellenállású. Az oszcilloszkóp bemeneti kapacitása a kábellel együtt 150 pF. - A kompenzáló kapacitás leszakad. Mekkora lesz ekkor az osztó felsô frekvenciahatára?

9. A T.14. a. ábrán a tranzisztoros erôsítôfokozatok gyakran használt csatoló áramkörének vázlatát látjuk. Határozzuk meg, hogy az áramgenerátor 1 mA áramából mekkora kimeneti feszültség keletkezik, - természetesen a frekvencia függvényében. (RC = 5 kohm, RB = 1 kohm, Csz = 100 pF, C = 100 nF )

10. A T.14. b. ábra szerinti kapcsolásban hogyan kell megválasztani R1 és R2 arányát, hogy egy frekvencián zérus legyen a kimenôjel? Hogyan néz ki az áramkör baloldali, R-C elemekbôl álló részének az átviteli karakterisztikája?

Milyen lesz a T.14. c. és d. ábrán látható kapcsolások transzfer karak-terisztikája?

11. A T.15. ábrán gyakorlati szempontból nagyon fontos RC áramköröket látunk. Ezek ismerete nélkülözhetetlen. - Itt az a feladat, hogy állítsuk elô az adott kapcsolások transzfer karakterisztikáit és értelmezzük azokat. (Célszerû mind a lineáris, mind a logaritmikus karakterisztikákat elkészíteni.)

Az a. ábra ún. Wien áramkört mutatja. Érdekes módon ennek átvitele éppen megegyezik a kritikusan csillapított (soros) rezgôkör átvitelével. Bizonyítsuk ezt be, felhasználva Rezgôkörökrôl írt fejezet definícióit, megállapításait.

A b. ábra szerinti áramkört úgy hívják, hogy kettôs-T szûrô. Arról nevezetes, hogy van egy olyan frekvencia, amelyik egyáltalán nem jut el a kimenetre, vagyis ez egy sávzáró szûrô áramkör. Igazoljuk ezt a megállapítást. Van-e ebben az esetben értelme a megszokott sávszélesség definíciónak?

A c. ábra szerinti áramkör kimenete minden frekvencián azonos a bemenô jellel, az áramkör tehát "mindent áteresztô". Érdekes módon azonban bizonyos frekvenciatartományban a bemenet és kimenet közötti fázis határozottan változik. Mire lehetne ezt az áramkört használni?