Kettős inga vizsgálata


A kettős inga az egyik legegyszerűbb, klasszikus példája a kaotikus rendszereknek. A rendszert egyértelműen leírja a két tengelyénél mért szög, és ezek időderiváltja, azaz a fázistér négy dimenziós. Ideális esetben a rendszer nem disszipatív, az energiamegmaradás miatt a fenti négy mennyiség között fennáll egy kapcsolat, praktikusan tehát egy három dimenziós részhalmazban mozgunk. Egy adott fázistér-pontból elindítva a rendszert, a további (determinisztikus) időfejlődést trajektóriának nevezzük. Az, hogy a rendszer kaotikus, a következőket jelenti (matematikai következetességet mellőzve):



Ha az inga kis amplitúdóval leng, akkor szinte periodikus a mozgás: a trajektóriák csak lassan távolodnak. Ha nagy az ampltúdó, a mozgás látványosan kaotikus, ahogy az intuitív elképzelésünk is sugallja. Ekkor valóban igaz, hogy a közeli trajektóriák gyorsabban távolodnak, azaz a Ljapunov-exponens kisebb.


A mérés célja kísérletileg vizsgálni a kaotikus mozgás jelenségét. Ez esetben figyelembe kell vennünk azokat az effektusokat, amik szinte minden fizikai rendszert jellemeznek, és ennek megfelelően a kaotikusság vizsgálatába is beleszólnak. A rendszer egyrészt valójában disszipatív, tehát a folyamatnak csak egy részét tudjuk vizsgálni. Adott esetben az ad értelmet a mérésnek, hogy a Ljapunov-exponens mint időállandó sokkal kisebb mint amennyi idő alatt a rendszer eldisszipálja az energiáját, azaz, ,,eléggé” kifejlődik a kaotikus mozgás, mielőtt az inga lengése leáll. (Gyakorlati megvalósításokban épp ennek ellenkezőjét kívánjuk gyakran elérni: ha az apró hatások gyorsan megnövekszenek, akkor nem tudjuk őket kompenzálni, és a rendszer irányíthatatlanná válik. Például egy repülőgép szárnyán egy kis turbulencia által okozott rezgés megfelelő tervezés esetén rövid tranziens után elhal). Másik fontos gyakorlati szempont, hogy a mérés valójában nem pontos, a rendszerben zaj (véletlenszerű apró kitérések az elméletileg számított trajektóriától) jelenik meg. Emiatt nem lehet tetszőlegesen közeli pontokból indítani trajektóriákat.


A mérés egyik legfontosabb feladata a Ljapunov exponens meghatározása. A kérdés valójában az, hogy igaz-e, hogy a közeli trajektóriák exponenciálisan távolodnak? Ez az a tulajdonság, ami a kaotikus (determinisztikus) folyamatokat, és a zajjal terhelt folyamatokat megkülönbözteti. Az exponenciális távolodás csak statisztikus jelenség: két trajektória eleinte gyakran lineárisan távolodik, majd egy tartományon áthaladva a lineáris jelleg gyorsul – azaz csak átlagosan látunk exponenciális távolodást. Az is előfordulhat, hogy a két trajektória rövid időre újra közeledni kezd. Akkor hihető az exponenciális tendencia, ha legalább egy nagyságrenden keresztül követhető, azaz a kezdeti távolság 10-100-szorosára növekszik. A trajektóriák nem távolodhatnak nagyon el egymástól: a fázistér mérete behatárolja a legnagyobb távolságot. Praktikusan tehát addig van értelme a távolodás vizsgálatának, amíg a trajektóriák távolsága jóval kisebb (harmada – tizede) a maximális megengedett távolságnak.


A kaotikusság ,,erőssége”, amit a Ljapunov-exponens valamilyen értelemben mér, függ attól, hogy a fázistér milyen tartományában vagyunk, adott esetben az összenergiától. Kis energiánál (kis amplitúdós lengéseknél) nagyon sokáig periodikus a rendszer, ahogy fent ez említve volt, azaz ,,kevésbé” kaotikus. A mérés során ezt próbáljuk ellenőrizni.





A mérőeszköz leírása


A rendszer egy klasszikus kettősinga, ami mechanikailag úgy van összeállítva, hogy minél kisebb legyen a disszipáció. Az ideális eset természetesen nem érhető el, viszont a mozgás kaotikus jellege így is jól vizsgálható.


Az inga helyzetét egyértelműen meghatározza a két tengely szögelfordulásának mértéke. Ennek mérésére két optikai dekóder van rajtuk elhelyezve, 72 rés/360 fok felbontással (egy lépés tehát 5 fok). Az iránytól függően széles ill. keskeny impulzusok jelennek meg a hangkártya csatornáiban. A szög aktuális értéke tehát nem ismert, hanem abból lehet visszaállítani, hogy hány lépést tett meg a tengely egy adott irányban. A felbontás nem nagyon jó: a pontos információ abban van, hogy milyen időpillanatban lépte át a tengely az 5 fokos elfordulási pontot. Úgy is tekinthető az adatsor, hogy a pontos mért szög-értékek időben nem ekvidisztáns lépésekben jelennek meg. A szögsebesség is nagy pontossággal megadható, figyelembe véve az időkülönbségeket.


Az ilyen jellegű, fizikai mérésekben nagyon gyakran előforduló nem különösebben egyszerű adatsor feldolgozása a mérési feladat része!


A mérőeszköz rendelkezik egy egyszerű mechanikai indító retesszel, amivel jó közelítéssel ugyanabból a helyzetből indíthatóvá válik. Kaotikus rendszerek vizsgálatánál jellegzetes kérdés, hogy a közel ugyanolyan pontból indult trajektóriák hogyan távolodnak. A reteszt át lehet szerelni, ennek megfelelően néhány pontból jól reprodukálhatóan elindítható a rendszer (pontonként kb 10 mérést legalább érdemes végezni).


A mérésre két alkalom áll rendelkezésre. A feladatokat úgy érdemes elvégezni, hogy az első mérési alkalommal a legtöbb feladathoz szükséges adatokat elsődlegesen felvenni, majd a két alkalom között az adatfeldolgozást legalábbis részben elvégezni. Ekkor a második alkalommal a felvett adatok minőségét javítani, illetve a hiányzó adatsorokat pótolni lehet.



Mérési feladatok


A mérés során az alábbi főbb feladatokat kell elvégezni. A feladatok nem mindig adnak egyértelmű mérési utasítást; a pontos kivitelezés megtervezése, a felvett adatok alapján a feladat megoldási módszerének kidolgozása is a feladatok része. A megoldásra jellemzően nincsenek jól adaptálható konkrét ,,receptek” az adatsor speciális struktúrája miatt, ezeket a megfelelő programok (Octave, C, etc) elvi kidolgozásával és megírásával kell elvégezni.



Irodalom:


http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum

http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html

http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/dpend_html/


AJP001038.pdf

VadaiGergely.pdf