next up previous
Következő: Boole függvények minimalizálása | Tartalomjegyzék | Előző: Tartalomjegyzék

Kétváltozós Boole függvények

A kétváltozós Boole függvények általánosan felírhatók az alábbi alakban:

\begin{displaymath}f(A,B)=\alpha_0P_0+\alpha_1P_1+\alpha_2P_2+\alpha_3P_3\quad .\end{displaymath}

A kétváltozós Boole függvények igazságtáblázatát, valamint a karakterisztikus számok lehetséges értékét az 6.3.1. táblázat tartalmazza. A függvények mellett feltüntettük az egyetlen áramköri egységként leggyakrabban realizált kétváltozós függvények közhasználatú neveit. Az ÉSNEM (NAND), a VAGYNEM (NOR) valamint a KI(záró)VAGY (XOR - eXclusive OR) ármkörök igen fontosak, mivel szerepük a digitális gépek tervezésében kiemelkedő. A NAND és NOR áramkörök logikai funkciója könnyen átlátható, a XOR kisebb magyarázatot igényel.


      0 $A\cdot B$ $A\cdot \bar{B}$ A $\bar{A}\cdot B$ B $A\oplus B$ A+B
A B $\alpha$ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 $\alpha_0$ 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 $\alpha_1$ 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 $\alpha_2$ 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 $\alpha_3$ 0 1 0 1 0 1 0 1
          AND       XOR OR
      $\bar{A}\cdot \bar{B}$ $\bar{A}\cdot \bar{B}+A\cdot B$ $\bar{B}$ $A+\bar{B}$ $\bar{A}$ $\bar{A}+B$ $\bar{A}+\bar{B}$ 1
A B $\alpha$ 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 $\alpha_0$ 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 $\alpha_1$ 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 $\alpha_2$ 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 $\alpha_3$ 0 1 0 1 0 1 0 1
      NOR KOINC.         NAND  


6.3.1. táblázat


A XOR művelet definíciója:

\begin{displaymath}A \oplus B = \bar{A}\cdot B + A \cdot \bar{B}\quad.\end{displaymath}

A XOR áramkör lényegében bináris számok bináris összeadásra szolgál, mivel a 0 + 1 = 1 összefüggésen túlmenően az 1 + 1 = 0 feltételt is teljesíti (ilyenkor természetesen átvitel is keletkezik, amivel tényleges összeadóknál külön kell foglalkozni). Bináris számok egy helyiértékének az összeadásához a XOR áramkörből kettőre van szükség, hogy az összeadandó számok, valamint az előző helyiérték átvitelbitjét egyaránt figyelembe tudjuk venni. A XOR áramkört szívesen nevezik - éppen ezért - fél-összeadónak is. A XOR komplementer áramköre a KOINCIDENCIA. Itt meg kell jegyeznünk, hogy a fizikusi (különösen a kisérleti részecskefizikusi) szóhasználat az ÉS áramkört nevezi "koincidenciának", tulajdonképpen pontatlanul. Egy n változós logikai függvény igazságtáblázatának 2 sora van. Függvényértékként 0-t vagy 1-et írhatunk, tehát az összes lehetséges különböző igazságtáblázatok száma:

\begin{displaymath}2^{2^n}\quad .\end{displaymath}

Ennek megfelelően a lehetséges 4 változós függvények száma 65536. A kétváltozós Boole függvények közül néhány különösebb figyelmet érdemel. Az olyan függvények, melyek a bemeneti változók valamilyen logikai kapcsolatának negálását jelentik, (tehát az ÉS-NEM, VAGY-NEM) nyilvánvalóan felépíthetők egy ÉS illetve VAGY áramkörből és egy inverterből. Ezeknek az egységeknek pedig az a rendkívül nevezetes tulajdonságuk, hogy velük mindhárom (ÉS, VAGY, invertálás) logikai alapművelet megvalósítható, tehát önmagukban alkalmasak logikai elemrendszer megvalósítására. Ennek a technikai jelentősége elég nagy: gondoljuk meg, elegendő csak NOR, vagy csak NAND áramköröket gyártani, hisz ezekkel is hiánytalanul felépíthető a "világ". Az elemek egységesítése egészen biztosan gyártási előnyökkel jár, például a nagyobb sorozatok következtében a fajlagos előállítási költség csökkenhet. A 6.3.2. táblázatban feltüntettünk néhány logikai elemrendszert és azt, hogy a logikai alapműveletek velük miként valósíthatók meg. Az elemi műveletek rendszerei között tehát választások adódnak, a gyakorlatban felhasznált áramköri elemek és technológiai lehetőségek alapján határozzák meg a kivitelezésre kerülő logikai rendszerek alapműveleteit.


6.3.2. ábra

(Zárójelben jegyezzük meg, de egyáltalán nem másodrangú információ: az $A\cdot \bar{B}$ kétváltozós függvény is alkalmas mindenfajta logikai hálózat létrehozására. Ennek fontossága abban rejlik, hogy idegsejtjeink logikai működését leíró ún. McCullogh-Pitts féle modell lényegében ugyanezt a funkciót realizálja. Mindez azt is jelentheti, hogy a "Természet" eléggé racionálisan tervez és valósít meg, mésrészt pedig arra is utalhat, hogy mondjuk elektronikus NAND körökből is felépíthető egy olyan összetett szerkezet is, mint az emberi agy...)
next up previous
Következő: Boole függvények minimalizálása | Tartalomjegyzék | Előző: Tartalomjegyzék

1999-09-23