next up previous
Következõ: Kérdésekfeladatok Fel: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Elõzõ Az egységimpulzus: univerzális vizsgálójel

Inverz Fourier transzformáció

 

Mielõtt a címben jelzett tárgyhoz hozzákezdenénk, egy a hálózatokkal kapcsolatos fontos fogalmat, a hálózatok idõkésleltetését és annak hatását kell megvizsgálnunk.

  figure223
11. Ábra

Az 11 ábra már ismert jelenségre utal. Ha egy szimmetrikus négyszögjel elsõ és harmadik harmonikusát összegezzük, akkor az eredeti jelhez eléggé hasonló eredményhez juthatunk. Ha azonban a harmadik harmonikus fázisát megfordítjuk, akkor az összeg már nem adja a helyes ábrát.

Ha ennek okát keressük, akkor elõször azt kell megállapítanunk, hogy mi a hálózatok torzítatlan jelátvitelének (egyik) feltétele. A Fourier komponensekre bontás szellemében a bemenetre érkezõ különbözõ frekvenciájú összetevõk megérkeznek ugyan a kimenetre, azonban mindegyik némileg késik. Ha a bemeneten a jelkomponensek egymáshoz viszonyított fázisa adott, akkor az alakhû átvitel feltétele, hogy a kimeneten is ugyanilyen legyen a viszonyuk. A kimeneten megjelenõ (szinuszos) jelek tex2html_wrap_inline2943 formában írhatók fel. tex2html_wrap_inline2945 azt fejezi ki, hogy a különbözõ frekvenciákhoz különbözõ késleltetési idõ tartozhat. Kézenfekvõ, ha tex2html_wrap_inline2945 a frekvenciától független állandó tex2html_wrap_inline2949, akkor a komponensek fázisviszonyai a kimeneten éppen olyanok lesznek, mint a bemeneten. Vizsgáljunk most egy egyszerû példát, az RC aluláteresztõ szûrõt. Ennek fázistolása


displaymath2951

A kimenet és bemenet közötti idõkésés mértéke - állandósult szinuszos jelet feltételezve - könnyen meghatározható.


displaymath2953

Jól látszik, hogy a késleltetés akkor lesz állandó, ha tex2html_wrap_inline2955 függvény lineáris, vagyis tex2html_wrap_inline2957 . Az RC aluláteresztõ esetében más a helyzet, mint ahogy az áramkörök többségében is.

  figure236
12. Ábra

Az 12 ábra baloldalán az RC aluláteresztõ fázis és késleltetési idõ görbéi láthatók. Feltüntettük a tex2html_wrap_inline2959 ún. csoport-futási idõ görbét is. Ezt szokták a hálózat "diszperziójának" tekinteni, amely fogalom arra utal, hogy a különbözõ frekvenciájú komponensek mennyire "szóródnak szét" egymáshoz képest a hálózaton való áthaladásukkor (v.ö. kísérleti fizika fázisebesség). Az ábra jobb oldalán az ideális aluláteresztõ hálózat abszolútérték átvitelét és fázismenetét ábrázoltuk. Ez az ábra egyúttal e fogalom definíciójaként is tekinthetõ.

Eléggé magától értetõdõnek tûnik azt kérdezni, hogy milyen kimenõjelet kapunk, ha egy ideális aluláteresztõ szûrõ bemenetére ideális impulzust adunk. Ha az impulzus nagysága (amplitúdó-idõtartam szorzat) egységnyi, akkor a kimeneten megjelenõ komponens tex2html_wrap_inline2961 értékû lesz. A Fourier (vissza ) transzformálás szabályai szerint (itt az tex2html_wrap_inline2963 kifejezés a minden frekvenciáára azonos mértékû jelkésleltetésre utal):


displaymath2965

Az eredménybõl az alábbi fontosabb tanulságok vonhatók le:

  1. A kimeneten megjelenõ idõfüggvény tex2html_wrap_inline2967 alakú lesz, - a Fourier transzformáció során tehát az idõbeni és frekvenciatartománybeli jelalakok ``felcserélhetõk'', szimmetrikusak;
  2. t = 0 elõtt is van kimenõjel, mintha a rendszer elõre sejtené, hogy a 0 idõpillanatban majd impulzust adunk a bemenetére. (13 ábra ) Ez az ellentmondás sokáig foglalkoztatta a matematikusokat. Az ellentmondás feloldására azt mondjuk, hogy ideális aluláteresztõ nem létezhet fizikailag. Pontosabban: fizikailag nem realizálható olyan hálózat, amelyiknek a frekvencia átvitele egy adott értéken túl azonosan zérus.
  3. A kimenõjel önkényes, - de nem irracionális - definíciójú talpszélessége az tex2html_wrap_inline2971 összefüggésbõl tex2html_wrap_inline2973 értékûre adódik. A kimenõjel "fõhulláma" tehát ennyi ideig tart, vagyis az aluláteresztõ felsõ határfrekvenciájának a reciproka szabja meg. Ez nagyjából megegyezik régebbi ismereteinkkel, amelyeket pl. a kváziintegráló áramkör kimenetén kapható legrövidebb impulzusról szereztünk. - A dolog elvi jelentõsége nagyon fontos: a felsõ frekvenciahatár szabja meg a kimeneten kialakuló legrövidebb impulzus szélességét.
  4. átláthatjuk az ún. Nyquist tételek igazát, jelentõségét, mely szerint: egy tex2html_wrap_inline2975 sávszélességû rendszeren legfeljebb tex2html_wrap_inline2977 jel (impulzus) vihetõ át megkülönböztethetõen.

  figure257
13. Ábra

Az 14 ábra a. része különös (ideális) impulzussorozatot mutat. A jelenség periodikus, azonban bizonyos idõpontokban nem jelenik meg az impulzus. Ez így egyszerû modellje a bináris információ közlésnek: az "1" esetben van impulzus, "0" esetben nincs. Ezek a jelek - feltevésünk szerint - egy ideális aluláteresztõn haladnak keresztül. Mindegyik bemeneti impulzus a kimeneten tex2html_wrap_inline2967 alakú jelet kelt. Ezek természetesen a bemeneti impulzushoz képest késve jellenek meg a kimeneten. A b. ábrán ezt a késleltetést a valóságos fizikai esettõl eltekintve zérusnak tekintjük, hogy az ábrasor áttekinthetõ legyen. A kimeneten tex2html_wrap_inline2877 alakú jelek összege jelenik meg. Nagyon fontos tudatosítani, hogy ez az összeg - a mintavételi idõpontoktól eltekintve (c. ábra) - nem korlátos, mert az 1/k szerint csökkenõ mellékhurkok összege bármilyen értéket felvehet. - Ha a mintavételi idõpontokat egybeejtjük az eredeti impulzusok idõpontjaival, akkor a mintavételi idõpontokban az esetleg véletlenszerûen változó múltbeli impulzusok esetén is pontosan kaphatjuk a kérdéses impulzus amplitúdóját. - Az elõbb már láttuk a tex2html_wrap_inline2967 alakú jelek részletesebb vizsgálatánál, hogy a helyesen detektálható jelek ismétlõdési idejének tex2html_wrap_inline2985 -nek kell lennie. Az ábra c. része a mintavevõ jeleket tünteti fel, d. részén pedig a detektált kimenetet látjuk. A fenti gondolatsor persze nem bizonyítás, csupán értelmezése a Nyquist tételnek. Ez a tétel az információközlésnek sarkalatos törvénye: véges felsõ határfrekvenciájú rendszeren nem lehet a határfrekvencia kétszeresénél gyorsabban impulzusokat (vagyis a lehetõ legrövidebb jeleket) továbbítani. (Ezt hívják Nyquist sebességnek.)

  figure263
14. Ábra

Vegyük észre azt is, ha a bemeneti impulzusok amplitúdói különbözõ nagyságúak lehetnek, ezek magasságával is közölhetünk információt. Az ismertetett mintavételi eljárás ezeket is pontosan adja vissza, vagyis az átvitt információ mennyisége így is növelhetõ. Ennek a módszernek az átviteli csatornák zaja jelenti a korlátját, emiatt a a detektált impulzus amplitúdók nem lesznek egyértelmûen megkülönböztethetõk. - Ezzel eljutottunk a csatornakapacitás fogalmához, amely egy tex2html_wrap_inline2975 felsõ frekvenciahatárú csatornán átvihetõ maximális információfluxust adja meg, vagyis a másodpercenként átküldhetõ ideális impulzusok számát:


displaymath2989

A delta-impulzus hálózaton történõ átvitelének ismeretében más, technikai szempontból értékes ismerethez is könnyen juthatunk. Igy pl. meghatározhatjuk, hogy ugrásjel (lépcsõ- függvény) hatására mi jelenik meg az ideális aluláteresztõ kimenetén. Ehhez azt kell észrevennünk, hogy a kimeneti jel frekvenciaspektruma mindig a bemeneti jel és a hálózat frekvenciaspektrumának szorzataként áll elõ. Ha a bemeneti jelet differenciáljuk, ez a bemenõjel spektrumának tex2html_wrap_inline2849 -val történõ szorzásával, vagy osztásával egyenértékû. Ilyenkor azonban nem választható szét, hogy a mûveletet a bemeneti jelen, vagy a kimeneten hajtottuk végre.


displaymath2993


displaymath2995

A dolog lényege: a bemenõjel differenciálásával , vagy integrálásával elõálló bemenõ jelalakhoz tartozó kimenõjelet a kimenõjel differenciálásával, illetve integrálásával is kaphatjuk. (Persze fordítva is !)

  figure272
15. Ábra

Adjunk például egy ideális aluláteresztõ szûrõ bemenetére feszültségugrást. Ez az impulzus függvény integrálja, - tehát a kimeneti jelet megkaphatjuk az impulzushoz tartozó kimenõjel integrálásával (15 ábra). Az ugrásfeszültség hatására tehát a tex2html_wrap_inline2967 függvény integrálja fog a kimeneten megjelenni. (Természetesen itt is sérül az oksági elv.)




next up previous
Követklezõ: Kérdésekfeladatok Fel: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Elõzõ: Az egységimpulzus: univerzális vizsgálójel