Következõ: Inverz Fourier transzformáció Fel: Fourier sorokFourier transzformáció Elõzõ Kérdésekfeladatok

Az egységimpulzus: univerzális vizsgálójel

 

Az elõbb kapott eredményeket megpróbáljuk úgy módosítani, hogy egy ideális impulzus (Dirac delta függvény) frekvenciaspektrumához jussunk el. Ez a továbbiakban nagyon fontossá válik. Ezért T értékét növeljük, egyidejûleg pedig értékét csökkentjük, így az elsõ zérushely egyre inkább kitolódik, közben azonban a spektrumvonalak száma állandóan növekszik. Sajnos, ezzel egyidejûleg a vonalak amplitúdója is csökken. Ennek kompenzálására A értékét növeljük úgy, hogy az szorzat állandó maradjon. Í gy eljutunk ahhoz az eredményhez, hogy az "ideális'' impulzus frekvenciaspektrumára jellemzõ ábra egy, az abszcisszával párhuzamos egyenes lesz. (8 ábra)

  
8. Ábra

Közben azonban minõségi változás is keletkezett. Mivel a keresett határesetben a spektrumvonalak végtelenül közel kerülnek egymáshoz, most már csak arról beszélhetünk, hogy egy igen keskeny sávban mekkora az átlagos amplitúdó komponens, - nem mondhatjuk meg pontosan, hogy adott értékû -hoz mekkora amplitúdó tartozik. Az ábra alapján azt látjuk, hogy minden frekvenciakomponens azonos amplitúdóval szerepel. Ez az érték egységnyi nagyságú esetén egységnyi lesz. (Ezt külön nem bizonyítjuk.) A fenti gondolatot tartalmazza az egyszer lefutó (impulzus-szerû) jelekre vonatkozó Fourier transzformáció képlete is. Az ilyen típusú összefüggéseket, amelyek a Fourier transzformáció eredményeként állnak elõ, (frekvencia)sûrûségspektrumnak hívják. Tényleges amplitúdóértéke csak a mennyiségnek van. (Vegyük észre, hogy gondolatmenetünkkel "bajt is okoztunk". Ha ezen sûrûségspektrum négyzetét minden frekvenciára integrálnánk, eredményül végtelen nagy energiát kapnánk. A bajt persze enyhíti, hogy "ideális'' impulzusunk sem egészen hétköznapi, ennek energiája is végtelen nagy.) Az a tény, hogy a delta függvényben minden frekvenciájú komponens azonos amplitúdóval szerepel, kézenfekvõ módon determinálja ideális rendszervizsgáló jelként. Ha ugyanis a rendszer pl. frekvenciakarakterisztikájával adott, akkor az 9 ábra alapján a bemenõjelhez tartozó kimenõjel frekvenciaspektruma igen könnyen megkapható, mindössze a bemenet és a hálózat frekvenciakarakterisztikáját kell összeszoroznunk. (Természetesen ügyelnünk kell arra, hogy a hálózat fázismódosítását is figyelembe vegyük, vagyis az átvitel komplex értékével kell számolnunk.)

  
9. Ábra

Ha a bemenõjelként megjelenõ delta függvény, akkor a kimeneten keletkezõ jel frekvenciaspektruma megegyezik a hálózat frekvenciakarakterisztikájával, mert a bemenetben minden komponens azonos amplitúdóval szerepel. - Természetesen a kimeneti frekvenciaspektrumot Fourier transzformációval idõfügvénnyé transzformálhatjuk. Ezt a h(t) kimeneti jelalakot a rendszer/hálózat súlyfüggvényének nevezik. Ez ugyanúgy jellemzi a hálózatot, mint a frekvenciakarakterisztika, mivel közöttük a Fourier oda-, illetve vissza transzformáció teremt egyértelmû kapcsolatot. Egy rendszer frekvenciakarakterisztikáját végtelen sok frekvencián történõ amplitúdó és fázisméréssel lehet megkapni, de fizikailag azonos értékû eredményt ad, ha megmérjük a súlyfüggvényt. Ez utóbbi gyakorlatilag sokkal egyszerûbb. - Csak arra kell ügyelnünk, hogy a delta függvényt gyakorlati célokra "leszelídítsük". A végtelen nagy amplitúdó mindent tönkre tenne, tehát csak akkora impulzust adjunk, amelyet pl. a rendszerben található tranzisztorok elviselnek. A végtelenül keskeny impulzust sem egyszerû elõállítani, ezért olyan rövidre válasszuk a szélességét, hogy az biztosan legalább egy nagyságrenddel kisebb legyen, mint a rendszer legkisebb idõállandója. (Ez a hálózat felsõ frekvenciahatárától függ, l. Elektronika jegyzet áramkörökön, a kvázidifferenciáló és kváziintegráló áramkörökön vizsgáljuk (10 ábra). A kváziintegráló bemenetére adjunk egy delta függvényt, melynek nagysága . Ha az áramkör bemenetén egy feszültségugrás jelenik meg, akkor A/R nagyságú áram indul, mely természetesen a kondenzátoron is áthalad. Ez az áram ideig folyik, ezen idõ alatt a kondenzátoron nagyságú töltés halmozódik fel, mely nagyságú feszültséget jelent. Ha végtelenül (vagyis elegendõen) kicsi, akkor a bemeneti impulzus megszûnte után a kondenzátor exponenciális görbe mentén RC idõállandóval kisül.

  
10. Ábra

A kvázidifferenciáló áramkör esetében a kondenzátor töltõdése természetesen ugyanígy fog lezajlani, azonban a bemeneti jel a kondenzátoron keresztül a kimeneten is megjelenik. A kondenzátor a megjelölt polaritásra töltõdik és így negatív polaritású kisülési görbe keletkezik.

Követklezõ: Inverz Fourier transzformáció Fel: Fourier sorokFourier transzformáció Elõzõ: Kérdésekfeladatok