Következõ: Kérdésekfeladatok Fel: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Elõzõ Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk
Következõ: Kérdésekfeladatok
Fel: Lineáris
rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Elõzõ
Lineáris
rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk
A továbbiakban lineáris, idõinvariáns rendszerekkel fogunk foglalkozni. Mindenekelõtt barátkozzunk meg a rendszernek, valamint az ehhez kapcsolódó jelek általános fogalmával. A rendszer egységnek tekintett, mûködésével leírható, kiemelt része a világnak, - kölcsönhatások és kölcsönös összefüggések által összekapcsolt objektumok halmaza. A rendszer határainak megvonása sok esetben önkényes, valamely célszerû meggondolást követ. - Nagyon sokfajta, igencsak különbözõen mûködõ, valamilyen funkciót betöltõ, látszólag elkülöníthetõen kezelhetõ részt tekintünk rendszernek. Beszélünk pl. nyirok-rendszerrõl, melynek határai nyilvánvalóan definícióinktól függnek. A gazdasági rendszer fogalma még ennél is bizonytalanabb, közgazdász csoportok végeláthatatlan vitáinak terepe. - Ehhez képest az általunk vizsgálni kívánt elektromos-elektronikus eszközök esetén a rendszer határai eléggé egyértelmûek, mûködésük nemkevésbé. A rendszereket sokfajta csoportba sorolják a velük foglalkozó, számos szakmát képviselõ szakemberek. Csak példaképpen: vannak koncentrált elemekbõl felépített és elosztott paraméterû rendszerek; léteznek determinisztikusan, de sztohasztikusan mûködõ rendszerek is; folytonos és bináris; lineáris és nemlineáris rendszerek, stb. Az elektromos-elektronikus rendszer fogalmához hozzátartoznak a megkülönböztethetõ és egymástól egyértelmûen elválasztható bemeneti és kimeneti jelek. Természetesen mindkét fajtából több is lehetséges. A jelek fogalmához pedig elválaszthatatlanul hozzátartozik azok mérhetõsége és információhordozó képessége. A bemeneti jelbõl, rendszerbõl, kimeneti jelbõl álló sémát látjuk az 1 ábrán. Az ábra ránézésre eléggé keveset mond, - a fogalmak és elnevezések használata következtében azonban szemléletünk meg fog változni. - Vizsgálataink a három elem (a bemenet; a rendszer és a kimenet) közötti általános érvényû összefüggések keresésére, kihasználására irányulnak. - A hálózat szó csak arra utal, hogy többnyire elektromos-elektronikus komponensekbõl felépített rendszer tulajdonságait keressük.
A továbbiakban azokat a rendszereket tekintjük lineárisaknak, amelyekre érvényes a szuperpozíció, vagyis amelyeknél két bemeneti jel összege olyan kimenõjelet hoz létre, mely az egyes bemenõjelekhez tartozó kimenõjelek összege. Triviális esetként: n-szer akkora bemeneti jel n-szer akkora kimeneti jelet eredményez. Ezt fejezik ki az alábbi, könnyen átlátható összefüggések is (b - a bementre, k - a kimenetre utal):
A valóságban lineáris rendszer nincs, csak a paraméterek bizonyos tartományában tekinthetünk egy rendszert lineárisnak. Jól látható ez a viszonylag lineárisnak tekintett elektromos hálózatoknál is: az ellenállások értéke általában függ a rájuk esõ feszültségtõl, a kondenzátorok átüthetnek, a tranzisztorok és egyéb félvezetõ elemek linearitásáról pedig csak igen szûk tartományban beszélhetünk. Az általunk vizsgált rendszerekrõl feltesszük azt is, hogy az idõben eltolt jelek hatására keletkezõ kimenetek nem függnek az idõeltolás mértékétõl, tényétõl; vagyis a rendszer átvitele idõinvariáns.
Számos jeltípussal fogunk találkozni. Ezeket az 2 ábra foglalja össze. Az elnevezések részben magától értetõdõek, részben pedig a megfelelõ részeknél kitérünk rájuk részletesebben is.
Példáink többségét az elektromos rendszerek/hálózatok körébõl vesszük. Ennek azonban elsõdlegesen kényelmi, didaktikai okai vannak. Összefüggéseink, eredményeink sokkal tágabb körben is érvényesek. E tantárgy keretében lényegében a lineáris differenciál-egyenletekkel (vagy differencia-egyenletekkel) leírható rendszereket vizsgáljuk. Igy tulajdonképpen közömbös, hogy egy csillapított rezgõkör áram-feszültség viszonyait, vagy egy súrlódó rugó- tömeg rendszer mozgásegyenletét elemezzük. Az 1 ábra alapján három tipikus probléma lehetséges:
További vizsgálatainkban a jelek és a rendszerek leírására idõfüggvényeket, frekvenciakarakterisztikákat és számsorokat fogunk felhasználni. Léteznek más, bizonyos típusú feladatokhoz sokkal jobban alkalmazkodó technikák is (pl. Laplace transzformáció), ezek azonban e kurzus kereteit meghaladják.
Meggondolásaink bármiféle (dimenziójú) jelre vonatkozhatnak, azonban az esetek többségében jelölésként a v betût használjuk mind a be-, mind a kimeneti jelek jelölésére. Ezzel tudatosan a feszültségre kívánunk utalni. Ezt az asszociációt néhányszor ki is használjuk: nehézkes bizonyítások helyett a fizikai tartalomnak megfelelõen bizonyos tényeket triviálisnak tekintünk. Igy például a
feltételt triviálisnak tekintjük, mivel egy "normális'' feszültség egységnyi (1 ohmos) ellenálláson véges idõ alatt semmiképpen sem kelthet végtelen nagy energiát. A feszültség nyilván az idõ függvényében változik, - ez is állandóan kísérni fog bennünket. Természetesen más független változó is elõfordulhat, erre majd látunk különbözõ példákat.
