Következõ: 2.2 Fourier sorok Fel: Fourier sorokFourier transzformáció Elõzõ Fourier sorokFourier transzformáció

Jelek hasonlósága

 

  
3. Ábra

Sokat fogunk beszélni a jelek hasonlóságáról: arról, hogy az egyik jelben milyen mértékben foglaltatik benne egy másik. Az 3 ábra alapján tegyük fel azt a furcsa kérdést, hogy mennyire hasonlít egymásra a és vektor. Ez a hasonlóság nyilván sokféleképpen definiálható. Egy lehetõség: a hasonlóság mértékéül keressük azt a skaláris mennyiséget , amivel -t megszorozva és közötti különbség minimális. (Valljuk be, van valami racionalitás ebben a definícióban is. Ha a két vektor azonos nagyságú és irányú, - vagyis egybeesnek, - akkor a hasonlóság mértéke "egyszeres"; ha a két vektor egymásra merõleges, akkor "zérus"; ha a két vektor ellentétes irányú, akkor - 1- szeres.) Keresnünk kell és a -vel módosított különbségének minimumát függvényében:

Ha ezt a kijelölt minimum keresést végig csináljuk, akkor az alábbi eredményre jutunk:

Meggondolásaink természetesen tágabb értelemben, k -dimenziós vektorokra is vonatkozhatnak. - Érdekes módon egy folytonos idõfüggvényt k diszkrét értékbõl összetettként is közelíthetünk (4 ábra), ekkor eredeti kérdésünk úgy fogalmazható, mennyire hasonlít egymásra két idõfüggvény.

  
4. Ábra

Vegyük észre, hogy a két jel közötti hasonlóság ( - korreláció) mérõszámában meghatározóan jelenik meg a komponensek szorzatának összege. Az eredményül kapható és nyilván nem függetlenek egymástól, csak a nevezõben megjelenõ jel energiája változik. Nagyon érdekes, ha azonos energiájú jelek hasonlóságát vizsgáljuk, akkor elegendõ csak a számlálóval foglalkoznunk. Ha az idõfüggvények felbontását minden határon túl finomítjuk, általánosítva azt mondhatjuk: ha két függvény szorzatának integrálját látjuk a késõbbiekben, mindig gyanakodhatunk, hogy a két függvény közötti hasonlóság mértékszámával arányos mennyiséget állítunk elõ. (Természetesen ez csak utalás, nem bizonyság.) Van egy függvénycsoport, - a sin/cos függvények - amelyekre való felbontásnak kiemelt szerepe van a jelek, rendszerek vizsgálatában. Ennek az a nagyon fontos praktikus oka, hogy ezen függvények alakja differenciálás és integrálás során nem változik, tehát a lineáris rendszerelemeken - R, C, L - stacionárius állapotban alakváltoztatás nélkül jutnak át (persze fáziseltérés, idõeltolódás van). (Energiaellátásunk is ezért alapul szinuszos jeleken, és pl. nem szimmetrikus négyszögfeszültségen. Ez utóbbival - azonos maximum/minimum esetén - kétszer nagyobb teljesítményt lehetne átvinni. Az átvivõ rendszer elemei, az induktivitások, kapacitások differenciálnak, illetve integrálnak, és torzítatlan alakú jelátvitel csak szinuszos jelekkel lehetséges.) A sin/cos jelekre való felbontás technikáját a Fourier sorba fejtés illetve a Fourier integrál jelenti. E kettõt együtt Fourier transzformációnak fogjuk nevezni. - A Fourier transzformáció az ortogonális komponensekre való felbontás egyik módozata. Késõbb röviden megemlítünk más, technikai szempontból jelentõs ortogonális transzformációt is. A Fourier transzformáció további jelentõs érdeme, hogy a konvolúció (l. késõbb) igen egyszerûen végezhetõ vele. A Fourier sorokra, transzformációra vonatkozó összefüggéseket a matematika megfelelõ fejezetei gondosan kimunkálták. Mi az alapvetõ összefüggéseket egyszerûen tényként elfogadjuk, nem keressük magyarázatukat; bizonyításukat vizsgálni, interpretálni csak fizikai, elektrotechnikai szempontból fogjuk.

Követklezõ: 2.2 Fourier sorok Fel: Fourier sorokFourier transzformáció Elõzõ: Fourier sorokFourier transzformáció