next up previous
Következõ: Kérdésekfeladatok Fel: Fourier sorokFourier transzformáció Elõzõ 2.2 Fourier sorok

Fourier transzformáció

Nemperiodikus, impulzusszerû jeleket is felbonthatunk komposensekre. Ekkor azonban a különbözõ frekvenciájú komponensek végtelenül közel kerülnek egymáshoz, ezért a tex2html_wrap_inline2809 mennyiség fog számot adni arról, hogy a tex2html_wrap_inline2811 tartományban mekkora a komponensek átlagértéke. (Vagyis tex2html_wrap_inline2813 ún. spektrális "sûrûség"-függvényt kapunk a transzformáció eredményéül. Vegyük észre, hogy ennek dimenziója nem egyezik meg tex2html_wrap_inline2815 dimenziójával !) A legfontosabb (oda-vissza transzformáló) összefüggések:


displaymath2817

A Fourier transzformációnak több nagyon értékes tulajdonsága van, amelyeket a továbbiakban kihasználunk. Itt most ezeket fizikai szempontból röviden interpretáljuk.

tex2html_wrap_inline2819 tex2html_wrap_inline2821 a transzformáció lineáris (szuperpozíció)
tex2html_wrap_inline2823 tex2html_wrap_inline2825 léptékváltoztatás. Rövidebb jelnek szélesebb a spektruma
tex2html_wrap_inline2827 tex2html_wrap_inline2829 az idõeltolás nem változtatja meg a jel spektrumát
tex2html_wrap_inline2831 tex2html_wrap_inline2833 a szinuszos moduláló jel eltolja a spektrumot, de alakját nem változtatja
tex2html_wrap_inline2835 tex2html_wrap_inline2837 differenciálni a frekvenciatartományban igen egyszerû
tex2html_wrap_inline2839 tex2html_wrap_inline2841 az integrálás is egyszerû
tex2html_wrap_inline2843 tex2html_wrap_inline2845 a konvolúció a frekvencia-tartományban szorzássá redukálódik

Megjegyzések

A frekvenciaspektrumot természetesen negatív frekvenciákra is értelmezhetjük. A sin/cos függvények páros/páratlan voltából adódóan ebbõl meglepõen új információhoz azonban nem jutunk. A továbbiakban frekvenciaspektrumon, - ha mást nem mondunk róluk, - a komponensek abszolút értékébõl elõállított ábrát értünk. Sokszor említjük az energia-, illetve teljesítmény spektrumot is: itt a komponensek négyzetét vesszük figyelembe. Ezekre a különbségekre mindig ügyelnünk kell. A Fourier transzformáció alaptulajdonságai következtében sok olyan eljárás létezik, amelyek a spektrum elõállítását megkönnyítik. Az 5 ábrán egy szimmetrikus exponenciális görbe látható, amelynek meg kell határoznunk a frekvenciaspektrumát. - Természetesen mód lenne a transzformációs képletekbe behelyettesíteni, de most más utat választunk. Ha a tex2html_wrap_inline2847 függvényt egymás után kétszer differenciáljuk, visszakapjuk az eredeti függvény alakját, meg egy ideális impulzust (Dirac deltát). - A kétszeri differenciálás tex2html_wrap_inline2849 négyzetével való szorzást jelent. Ennek segítségével az eredeti függvény frekvenciaspektrumára vonatkozó összefüggés könnyen felírható, - amibõl tex2html_wrap_inline2813 közvetlenül kifejezhetõ. (Az ideális impulzusnak a frekvenciaspektrumáról az gif részben találunk ismereteket.) Figyeljünk fel arra, hogy az exponenciális, valamint a sin/cos függvények kétszeri deriválás után ugyanazt az alakot adják (csak az Y skála lesz más). A fenti eljárás tehát célszerûen alkalmazható, ha a megnevezett függvények, vagy azok szakaszai szerepelnek az eredeti idõfüggvényben.

A Fourier transzformáció általában sokat egyszerûsödik, ha észrevesszük, hogy a függvény páros, vagy páratlan-e, illetve ha tudatosítjuk, hogy a függvény milyen szakaszok összegébõl áll elõ. Ha ezek a szakaszok könnyen transzformálhatók, akkor csak az eltolt függvények miatti komplex mennyiséget kell az egyes spektrumkomponensek összeadásánál figyelembe venni. - Az is sokat használ, ha rájövünk arra, hogy a transzformálandó függvény egy kétértékû (0 és 1 ) függvénynek és egy könnyen transzformálható függvénynek a szorzata. - Mindezekre számos példát találunk a Feladatok c. jegyzetben.

  figure146
5. Ábra


next up previous
Követklezõ: Kérdésekfeladatok Fel: Fourier sorokFourier transzformáció Elõzõ: 2.2 Fourier sorok