Következõ: z-transzformációdigitális szûrôk Fel: Digitális jelek feldolgozása Elõzõ Analóg - digitál átalakítók

Mintavételi törvény

 

A folyamatos jelekbôl történô mintavétel igen nevezetes szabálya az ún. mintavételi törvény. Megértéséhez, értelmezéséhez a 33 ábra lesz segítségünkre. Az ábra baloldalán idôbeli "eseményeket" látunk, a másik oldalon a frekvenciatérben vizsgáljuk ugyanezeket. - Kiindulásunk alapgondolata, hogy a mintavételezett jel olyan, hogy egy meghatározott érték feletti frekvenciakomponensei azonosan zérus amplitúdójúak. Ezt sávlimitált jelnek nevezik. - Ebbôl a jelbôl idôközönként ( ismétlôdési frekvenciával) veszünk mintát, vagyis a két jelet összeszorozzuk. A mintavett jeleket is feltüntettük.

  
33. Ábra

A frekvenciatérben is mutatjuk a mérendô jelet, amely az ábra szerint valóban sávlimitált. A második sorban a periodikus impulzussorozat frekvenciaspektrumát látjuk, mely szintén periodikus impulzussorozat lesz, ez frekvenciánként ismétlôdik. - Az idôbeni szorzásnak a frekvenciatérben konvolúció felel meg, - így könnyen meghatározhatóvá válik a mintavett jel frekvenciaspektruma is. Ez a spektrum a mérendô jel periodikus ismétlésébôl áll.

Jól látható, ha értéke nagyon kicsi, akkor az sávhatárú jelek egyedi frekvenciaspektrumai nagyon határozottan különválnak. Ha a mintavételi frekvencia éppen kétszerese -nak, akkor az egyes szakaszok még éppen nem lapolódnak át. - Az átlapolódás nagy bajt jelent, - ekkor az eredeti spektrumhoz nem kívánt komponensek is társulnak.

Eddigi megállapításaink összegezéseként az

összefüggéshez jutunk. Ezt nevezik mintavételi törvénynek. E szabály eléggé sok fontos következményt jelent.

• a jel legmagasabb frekvenciájú komponensébôl is legalább két mintát kell vennünk.
• az ilyen módon mintavett jelekbôl az eredeti jel tökéletesen rekonstruálható, ha a mintavett impulzusokat egy - jól megválasztott - felsô határfrekvenciájú ideális aluláteresztôn bocsátjuk keresztül (34 ábra).

  
34. Ábra


Ez az állítás némiképpen meghökkentô, mert azt jelenti, hogy periodikus ideális impulzussorozatból az impulzusok közötti idôszakaszra vonatkozó információ is visszanyerhetô. Természetesen csak akkor, ha a mintavétel a fenti megkötésnek megfelelt és a jel ténylegesen sávlimitált volt. (Ez utóbbi azonban - ha valaki jobban belegondol - fizikailag lehetetlen feltevés.)

• a mintavételi törvény betartása esetén is sok meglepetés érhet bennünket. Utalunk a 40 ábrára, ahol az ábra felsô részén egy szinuszos jelet látunk. Ha ebbôl a mintavételi törvény szerint mintákat veszünk (vagyis periódusonként legalább kettôt), akkor az ábra középsô részén látható furcsa jelsorozathoz jutunk. Ezt - megfelelô szûrôvel - az eredeti szinuszos jellé lehet alakítani.

  
35. Ábra


Ha azonban az eredeti jelbôl csak periódusonként egy mintát veszünk, az ábra alsó részén látható képhez jutunk. Ez egy egészen más - sokkal alacsonyabb - frekvenciájú szinusszá alakítható csak vissza.

• felmerülhet az a kérdés, hogyan lehet biztosítani, hogy a mérendô jel sávlimitált legyen. Sajnos, csak a módszer áll rendelkezésünkre, hogy a konverter bemenete elé egy valóságos aluláteresztô szûrôt helyezünk. Ez a persze sohasem ideális és a zárási sávjában is találhatók kisebb amplitúdójú frekvencia komponensek. - Ez a szûrô a bemeneti jel hirtelen, tüskeszerû ugrásait erôsen mérsékeli. Eredményeképpen a gyakorlatban ténylegesen használható analóg-digitál átalakítók szinte kötelezôen a 36 ábra szerinti egységekbôl épülnek fel.

  
36. Ábra


Az könnyen átlátható, hogy a szûrô felsô frekvencia-határának illeszkednie kell a maximális sebességû minta-vétel frekvenciájához. Az ábrán feltüntettük az egyes egységek kimenetén található jelalakokat, értékeket.

Befejezésül az analóg-digitális átalakítás egy fontos mellékhatásáról kell megemlékeznünk. A 37 ábrán olyan konvertert látunk, amely 2 bit felbontóképességû, vagyis négy szintet képes megkülönböztetni.

  
37. Ábra

A függvényt a mért értékek csak közelítik. Az ábrán jól látható az ún. kvantum-nagyság ( q ), a legkisebb, méréssel megkülön-böztethetô bemenôjel. (A bemenôjel szó nem hiba: az ábra abban a szellemben készült, hogy a bemenôjel és a kimenôjel skálája azonos.) Elvben a q értéknek a fele fordul elô maximális hibaként, - konverter szinte sohasem mér hiba nélkül. Ez a gyakorlati alkalmazások egy részében - pl. a hangfrekvenciás jelek digitalizálásánál - kellemetlen hatásként, zajként jelenik meg. - Az ábra jobboldali részén azt az esetet tüntettük fel, amikor e hibahatárok közötti érték elôfordulási valószínûsége azonos. - Ebbôl a hibaeloszlásból a zaj mértéke pontosan meghatározható. Annyit kell errôl megjegyeznünk, hogy 10 - 12 bit felbontásnál jobb konverterek esetén a zaj már elhanyagolható.

Követklezõ: z-transzformációdigitális szûrôk Fel: Digitális jelek feldolgozása Elõzõ: Analóg - digitál átalakítók