next up previous
Következõ: Példa Fel: Korrelációs függvények Elõzõ Kérdésekfeladatok

Véletlenszerû jelek autokorrelációs függvényei

Stacionernek és ergodikusnak azokat a folyamatokat nevezzük, amelyek statisztikus jellemzõi az idõben állandóak és amelyek sok hasonló folyamat egyidejû vizsgálatával, vagy egyetlen folyamat idõbeni elemzésével egyaránt megkaphatók, vagyis az ún. idõátlag és halmazátlag (sokaságátlag) azonos. 23 ábra ezt kívánja szemléletessé tenni: mindegy, sok hasonló generátor tex2html_wrap_inline3093 jelét mérjük-e egyetlen to pillanatban, vagy egyetlen zajgenerátor jelét vizsgáljuk igen hosszú idõn keresztül.

  figure379
23. Ábra

A véletlenszerû folyamatok statisztikai adatokkal, statisztikai függvényekkel írhatók le (átlagérték, momentumok, stb). A továbbiakban kiemelkedõ szerepe lesz az ún. sûrûség- függvényeknek. - Tekintsünk egy véletlenszerû idõfüggvényt, melynek pillanatnyi amplitúdója x(t) és vegyünk belõle sokszor mintát. A mintavételek idõpontját is véletlenszerûen - tex2html_wrap_inline3097 - válasszuk. (Ez bizonyos körülmények között periodikus is lehet.) A p(x)dx értékkel azt adjuk meg, hogy a jelbõl véletlenszerû idõpontban mintát véve, mekkora valószínûséggel találjuk a mért amplitúdó értéket x és (x+dx) között. A tex2html_wrap_inline3101 kifejezés adja meg, hogy ha két mintavétel között éppen tex2html_wrap_inline2891 nagyságú rögzített idõkülönbség van, mi a valószínûsége, hogy az egyik mért érték x és (x+dx) közé esik, valamint a másik az y és (y+dy) közötti amplitúdó tartományban lesz. (24. ábra)

  figure385
24. Ábra

Ez utóbbi együttes valószínûség értelmezéséhez tekintsük az 25 ábra szerinti mérõberendezést. Itt két analóg-digitál átalakító tex2html_wrap_inline2891 idõkülönbséggel ugyanabból a jelbõl vesz mintát. A mért értékeket tároljuk egy mátrix-szerû elrendezésben. Ez - szemléletesen - egy négyzetes memória-blokk, amelyiknek minden elemében egy számláló található. E számlálók tartalma akkor növekszik eggyel, ha az AD konverterek mérési eredményei éppen ezt a cellát jelölik ki, - a mért x és y értékekkel. - (Ez a mérési elrendezés a "mátrix analizátor" nevet viseli, és elsõdlegesen két nukleáris detektorról érkezõ különbözõ amplitúdójú (energiájú) jelek kölcsönös esemény- valószínûségének mérésére szolgál.)

  figure391
25. Ábra

A bemenõjel a jelen esetben legyen tex2html_wrap_inline3119 határfrekvenciájú fehér zaj. Ezt a fogalmat majd késõbb alaposabban is megismerjük, - itt csak annyit kell tudnunk róla, hogy lényegében véletlenszerû jel, amelyiknek a frekvenciaspektrumában egy meghatározott értéknél nagyobb frekvenciák egyáltalán nem fordulnak elõ.

-Ha tex2html_wrap_inline2891 nagyon kicsi (a zaj ún. korrelációs idejéhez képest), akkor x értékének ismeretében eléggé jól meg lehet jósolni y mivel a két érték valószínûleg alig tér el egymástól. Ha tex2html_wrap_inline2891 növekszik, a jóslás egyre bizonytalanabb lesz, nagy idõkülönbségeknél pedig lehetetlen. A mérõberendezés nyilván gyakoriságokat mér, amelyeket bizonyos szabályok betartásával valószínûségekké módosíthatunk. A tex2html_wrap_inline3129 függvényt tehát az elõbb ismertetett eszközzel megmérhetjük. Bizonyos ismert mechanizmusú folyamatoknál azonban matematikailag, analitikusan is meghatározhatjuk. Ennek jelentõsége azért nagy, mert ennek ismeretében az autokorrelációs függvényt is elõállíthatjuk. Az autokorrelációs függvény az alábbi formula alkalmazásával is megkapható:
 equation396

Ezt a képletet itt nem vezetjük le, csak értelmezzük, illetve elfogadhatóvá tesszük. - Elsõként gondoljuk meg, hogy a korreláció és a keresztkorreláció képleténél mit is csináltunk.: minden tex2html_wrap_inline2891 értéknél képeztük a függvényértékek szorzatának összegét. Most is errõl van szó: Az tex2html_wrap_inline3133 és tex2html_wrap_inline3135 értékek a függvényértékek egy-egy sávját jelölik ki . Az integrálási határok arra utalnak, hogy ezek értéke bármi lehet. A tex2html_wrap_inline3129 értékkel azért kell megszoroznunk õket, hogy az elõbbi definíció értelmében az együttes elõfordulási valószínûségüket is figyelembe vegyük. - Az elemi szorzatokat természetesen összegezni is kell, - erre utal a kétszeres integrálás.

A továbbiakban két érdekes esetet fogunk megvizsgálni azért, hogy a fenti képlet hasznosságáról fogalmat alkothassunk.




next up previous
Követklezõ: Példa Fel: Korrelációs függvények Elõzõ: Kérdésekfeladatok